Ein rechteckiges Feld ist 150 Meter lang und 80 Meter breit. Ein Weg gleicher Breite wird um das Feld herum angelegt, wodurch die Gesamtfläche auf 15.120 Quadratmeter erhöht wird. Wie breit ist der Weg?
["Ein rechteckiges Feld ist 150 Meter lang und 80 Meter breit – mit gleich breitem Weg um das Feld erhöht sich die Gesamtfläche auf 15.120 Quadratmeter. Wie breit ist der Weg?", "Ein rechteckiges Feld mit den Maßen 150 Meter Länge und 80 Meter Breite bietet nicht nur eine klare Übersicht über notwendige Flächenberechnungen – es zeigt auch, wie gezielte Gestaltung durch Wegeflächen den Nutzwert erhöhen kann. Doch was geschieht, wenn um dieses Feld ein gleich breiter Weg angelegt wird? Und wie breit muss dieser Weg sein, damit die Gesamtfläche auf beeindruckende 15.120 Quadratmeter anwächst?", "---", "### Die Ausgangsfläche", "Zunächst berechnen wir die Fläche des ursprünglichen Feldes:", "[\n\ ext{Fläche}{\ ext{Feld}} = 150 , \ ext{m} \ imes 80 , \ ext{m} = 12.000 , \ ext{m}^2\n]", "---", "### Der Weg um das Feld", "Um das Feld legen wir einen gleich breiten Weg an – die Breite sei ( x ) Meter. Der Weg umschließt das gesamte Gebiet, sodass die neuen Abmessungen lauten:", "- Neue Länge: ( 150 + 2x ) Meter\n- Neue Breite: ( 80 + 2x ) Meter", "Die Gesamtfläche ergibt sich also durch:", "[\n\ ext{Fläche} = (150 + 2x)(80 + 2x)}\n]", "Nach Voraussetzung beträgt diese Gesamtfläche 15.120 m²:", "[\n(150 + 2x)(80 + 2x) = 15.120\n]", "---", "### Gleichung aufstellen und lösen", "Zunächst multiplizieren wir die linke Seite aus:", "[\n(150 + 2x)(80 + 2x) = 150 \cdot 80 + 150 \cdot 2x + 2x \cdot 80 + 2x \cdot 2x = 12.000 + 300x + 160x + 4x^2\n]", "[\n= 4x^2 + 460x + 12.000\n]", "Setzen wir dies gleich 15.120:", "[\n4x^2 + 460x + 12.000 = 15.120\n]", "Bringen wir alles auf eine Seite:", "[\n4x^2 + 460x + 12.000 - 15.120 = 0\n]", "[\n4x^2 + 460x - 3.120 = 0\n]", "---", "### Vereinfachen der Gleichung", "Teilen wir die gesamte Gleichung durch 4, um Rechnung zu vereinfachen:", "[\nx^2 + 115x - 780 = 0\n]", "---", "### Quadratische Gleichung lösen", "Mit der quadratischen Lösungsformel:\n[\nx = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n]", "Hier gilt: ( a = 1 ), ( b = 115 ), ( c = -780 )", "Berechnen der Diskriminante:\n[\nD = 115^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-780) = 13.225 + 3.120 = 16.345\n]", "Dann:\n[\nx = \frac{-115 \pm \sqrt{16.345}}{2}\n]", "Berechnen der Wurzel:\n[\n\sqrt{16.345} \approx 127,84\n]", "Also zwei Lösungen:", "[\nx_1 = \frac{-115 + 127,84}{2} = \frac{12,84}{2} = 6,42\n]\n[\nx_2 = \frac{-115 - 127,84}{2} = \frac{-242,84}{2} = -121,42 \quad (\ ext{nicht physiktransformierbar})\n]", "---", "### Ergebnis", "Die Breite des Weges beträgt etwa 6,42 Meter.", "---", "### Fazit", "Ein rechteckiges Feld mit den Maßen 150 × 80 Meter bietet – bei einem gleich breiten, gleichmäßigen Weg umgeben – eine deutlich erhöhte Gesamtfläche von 15.120 Quadratmetern, wenn der Weg eine Breite von etwa 6,42 Metern hat. Dieser Aufwand macht das Gelände nicht nur optisch ansprechender, sondern eröffnet auch praktische Erweiterungsmöglichkeiten, etwa für Wege, Grünflächen oder Nutzflächen.", "Falls du planst, einen solchen Weg anzulegen: Plane mit einer Breite um 6,5 Meter, um reibungslosen Eintritt und ausreichend등'École.", "---", "Schlüsselbegriffe für SEO:\nrechteckiges Feld 150 m × 80 m, gleich breiter Weg auffläche erhöhen, Gesamtfläche 15.120 m², Wegbreite berechnen, Quadratische Gleichung lösen, Fläche mit Umweg bestimmen, Gestaltungskosten Geländeoptimierung, Weg um Feld Fläche erhöhen.", "---", "Hinweis: Nominalwerte sollten durch genaue Bauplanung überprüft werden, da reale Gegebenheiten wie Geländeneigung, Bodenbeschaffenheit oder Geländerschranken die Dimensionierung beeinflussen können."]
